Equações diferenciais parciais possuem um grande espectro de aplicação na engenharia e na física, pois elas são capazes de descrever uma grande variedade de fenômenos, em particular, fenômenos de natureza ondulatória. Sendo uma imagem uma onda, ela pode ser descrita através de equações dessa natureza. Utilizando uma equação diferencial parcial bidimensional é possível estimar os valores do interior de uma região de uma imagem da qual se conhece o seu valor na fronteira (condições de contorno). A partir disso e utilizando um método numérico iterativo para resolução de equações diferenciais parciais, implementou-se um software que reconstrói regiões danificadas de uma foto. Logo abaixo, analisaremos como foi realizada a implementação desse software, bem como o resultado da reconstrução de uma foto.
Implementação
A implementação foi realizada utilizando a linguagem C++ e a bilioteca OpenCV. Ce
Introdução
Métodos numéricos são amplamente utilizados na física e na engenharia, em particular na resolução de equações diferenciais ordinárias que, apesar de possuir uma teoria bastante completa, nem sempre possuem solução analítica. Aplicamos um desses métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias ao modelo matemático do movimento da queda de um objeto que e regido por uma equação diferencial, realizamos o experimento do movimento da queda do objeto e comparamos a solução numérica com os dados reais.
Implementação
Implementamos o método de resolução Range Kutta 4 no software Scilab e o aplicamos a resolução da equação.
v = v0+ gt -> v0 = 0 -> v = gt -> dx/dt = gt
e obtivemos o seguinte resultado
t x
0. 0.
0.01 0.00049
0.02 0.00196
0.03 0.00441
0.04 0.00784
0.05 0.01225
0.06 0.01764
0.07 0.02401
0.08 0.03136
0.09 0.03969
0.1 0.049
0.11 0.05929
0.12 0.07056
0.13 0.08281
0.14 0.09604
0.15 0.11025
0.16 0.12544
0.17 0.14161
0.18 0.15876
0.19 0.17689
0.2 0.196
0.21 0.21609
0.22 0.23716
0.23 0.25921
0.24 0.28224
0.25 0.30625
0.26 0.33124
0.27 0.35721
0.28 0.38416
0.29 0.41209
0.3 0.441
0.31 0.47089
0.32 0.50176
0.33 0.53361
0.34 0.56644
0.35 0.60025
0.36 0.63504
0.37 0.67081
0.38 0.70756
0.39 0.74529
0.4 0.784
0.41 0.82369
0.42 0.86436
0.43 0.90601
0.44 0.94864
0.45 0.99225
0.46 1.03684
Realização da experiencia
A experiencia foi realizada da seguinte forma: colocaram-se marcadores espaçados de dez em dez centímetros em uma parede e em seguida lançou-se o objeto a partir do primeiro marcador, que é o zero do nosso sistema de referencia. O vídeo da experiencia segue logo abaixo.
Analisando o vídeo, extraímos a seguinte tabela de posição versus tempo:
t(ms) s(cm)
0 0
67 2
133 10
200 20
267 35
333 60
400 85
obs: o objeto é solto no instante 1168 ms do vídeo
Comparação com a experiência
Comparando as duas tabelas, vemos que a variação da posição do objeto na experiência esta de acordo com a solução numérica obtida.
Conclusão
A solução numérica forneceu um resultado bastante próximo do real.
Introdução
Na realização de experimentos os dados são amostrados em determinados instantes de tempo. Porém, as vezes é necessário conhecer dados que estão entre os intervalos de cada amostra. O método de interpolação possibilita estimar essa informação. No nosso caso, a experiência é a trajetória de um carrinho, da qual se amostrou sua posição em diferentes instantes de tempo. Aplicamos o método numérico de interpolação lagrangiana quadrática e comparamos o resultado com a trajetória descrita pelo carinho.
Implementação
Implementamos o método de interpolação lagrangiana quadrática no software Scilab. A partir da tabela de dados obtida da observação do vídeo acima, realizamos a estimativa dos valores da posição do carrinho em instantes estranhos à tabela:
(as marcações no vídeo distam 250 mm entre si)
t(ms) s(mm)
0 0
534 250
801 500
1001 750
1202 1000
valores de s(t) estimados pela interpolação e medidos no vídeo:
t s(estimados) s(medidos)
250s 75.543445mm 85mm
650s 346.84924mm 375mm
900s 623.90507mm 625mm
1100s 873.13433mm 875mm
obs:no video, o carrinho começa o movimento
no instante t igual a 2135 ms.
Realização da experiencia
A experiencia foi realizada da seguinte forma: colocaram-se marcadores espaçados de 250 a 250 milímetros em uma rampa de vidro e em seguida soltou o objeto a partir do ponto mais alto de tal rampa, que é o zero do nosso sistema de referencia. O vídeo da experiência segue logo abaixo.
Comparação com a experiência
Comparando as duas tabelas, vemos que a variação da posição do objeto na experiência esta de acordo com a solução numérica obtida.
Conclusão
A solução numérica forneceu um resultado bastante próximo do real.
